在数字计算领域，计算机早已超越人类极限，但在数学推理方面，它们长期以来一直难以与人类数学家相提并论。直到最近，谷歌DeepMind团队开发的AlphaProof系统改变了这一格局，在2024年国际数学奥林匹克竞赛中，该系统达到了银牌得主的水平，在世界上最具声望的本科数学竞赛中仅差一分即可获得金牌。这一成就标志着人工智能在数学领域取得了重大突破。
真正的理解：数学的本质挑战
计算机在数学竞赛中表现不佳的原因在于，尽管它们在计算能力上远超人类，但在高级数学所需的逻辑推理方面却存在明显短板。换句话说，计算机擅长快速执行计算，但通常不理解为何要进行这些计算。即使是看似简单的加法运算，人类也能基于加法定义进行半形式化证明，或采用完全形式的皮亚诺算术，通过公理定义自然数及其运算属性。
要完成一个证明，人类必须理解数学的基本结构。数学家构建证明的方式、推导结论所需的步骤数量，以及这些步骤设计的巧妙程度，都体现了他们的智慧、创造力和数学美感。正如DeepMind研究员兼AlphaProof研究的主要作者Thomas Hubert所言："你知道，伯特兰·罗素出版了一本500页的书来证明一加一等于二。"
DeepMind团队希望开发一种能在这一层面理解数学的AI。这项工作始于解决AI面临的常见问题：训练数据的缺乏。
数学问题翻译器：跨越形式化语言鸿沟
像ChatGPT这样由大型语言模型驱动的AI系统从数百亿页文本中学习。由于它们的训练数据库中包含大量数学文本——包括所有手册和著名数学家的著作——它们在证明数学命题方面取得了一定成功。但它们受到自身运作方式的限制：它们依赖庞大的神经网络来预测响应提示生成的序列中的下一个词或标记。其推理本质上是统计性的，这意味着它们只返回"听起来正确"的答案。
DeepMind需要的AI不是"听起来正确"——这在高等数学中远远不够。他们需要AI"真正正确"，保证绝对确定性。这要求一个全新的、更正式化的训练环境。为此，团队使用了一个名为Lean的软件包。
Lean是一个帮助数学家编写精确定义和证明的计算机程序。它依赖一种精确的编程语言，同样称为Lean，数学命题可以翻译成这种语言。一旦翻译或形式化的命题被上传到程序中，它就可以检查是否正确，并返回诸如"这是正确的"、"缺少某些内容"或"你使用了尚未证明的事实"等反馈。
问题在于，大多数可在网上找到的数学命题和证明都是用自然语言编写的，如"设X为自然数集..."——用Lean编写的语句数量相当有限。Hubert表示："使用形式化语言的主要困难在于数据量非常少。"为解决这一问题，研究人员训练了一个Gemini大型语言模型，将数学命题从自然语言翻译成Lean。该模型像一个自动形式化工具，产生了大约8000万条形式化的数学命题。
虽然这不完美，但团队设法利用这一点。Hubert声称："有许多方法可以利用近似翻译。"
学习思考：AlphaProof的架构创新
DeepMind为AlphaProof设计的思路是使用他们在国际象棋、围棋和将棋-playing AlphaZero AI系统中使用的架构。在Lean和一般数学中构建证明被视为需要掌握的另一种"游戏"。Hubert表示："我们试图通过试错来学习这个游戏。"形式化不完善的问题为犯错提供了绝佳机会。在其学习阶段，AlphaProof只是在证明和反驳其数据库中的问题。如果某些翻译质量不佳，找出不正确之处是一种有用的锻炼方式。
与AlphaZero类似，AlphaProof在大多数情况下使用两个主要组件。第一个是一个拥有数十亿参数的巨大神经网络，它通过试错学习在Lean环境中工作。每当证明或反驳一个命题时，它都会获得奖励；每进行一次推理步骤，它都会受到惩罚，这是一种鼓励简短、优雅证明的方式。
它还接受使用第二个组件的训练——树搜索算法。该算法探索所有可能采取的行动，以在每个步骤推动证明前进。由于数学中可能的行动数量近乎无限，神经网络的工作是查看搜索树中的可用分支，并将计算资源仅分配给最有希望的分支。
经过几周的训练，该系统在基于高中级竞赛问题的数学竞赛基准测试上得分很高，但仍最困难的问题上挣扎。为解决这些问题，团队添加了AlphaZero中未曾有过、也未曾出现在其他地方的第三个组件。
人性火花：测试时强化学习
第三个组件称为测试时强化学习(TTRL)，大致模拟了数学家处理最困难问题的方式。学习部分依赖于神经网络与搜索树算法的相同组合。区别在于它学习的内容。除了依赖广泛的形式化问题数据库外，在TTRL模式下工作的AlphaProof首先基于其处理的问题生成一个全新的训练数据集。
该过程涉及创建原始命题的无数变体，一些稍微简化一些，一些更一般化，一些仅与它松散相关。然后，系统尝试证明或反驳它们。这大致相当于人类面对特别棘手难题时所做的，相当于AI在说："我不明白，所以让我们先尝试一个更简单的版本进行练习。"这使AlphaProof能够即时学习，效果显著。
在2024年国际数学奥林匹克竞赛中，共有42分，来自六个不同的问题，每个问题值七分。要获得金牌，参与者必须获得29分或更高，共有58人达到这一标准。银牌授予获得22至28分的人（有123名银牌得主）。问题难度各不相同，第六个问题作为"最终Boss"是最困难的，只有六名参与者成功解决。AlphaProof是第七个。
创新的优化：AlphaProof的局限性
然而，AlphaProof并非终极数学天才。它的银牌是有代价的——从字面意义上说。
AlphaProof性能的第一个问题是它无法独立工作。首先，人类必须使问题与Lean兼容，软件才能开始工作。在六个奥林匹克问题中，第四个问题是几何问题，而AI并未针对此进行优化。为此，AlphaProof不得不调用一个名为AlphaGeometry 2的朋友，这是一个专门处理几何的AI，在几分钟内毫不费力地完成了任务。单独计算，AlphaProof得分为21分，而非28分，因此从技术上讲，它应该获得铜牌而非银牌。
奥林匹克竞赛的人类参与者必须在两个四小时半的会话中解决六个问题。而AlphaProof则使用多个张量处理单元全力奋战了数天。最耗时和耗能的组件是TTRL，它在解决三个问题时每个都花了三天时间。如果AlphaProof受到与人类参与者相同的标准约束，它基本上会耗尽时间。而且，如果它不是诞生于价值数千亿美元的科技巨头，它也会耗尽资金。
在论文中，团队承认运行AlphaProof的计算要求很可能对大多数研究团体和有抱负的数学家来说成本过高。AI应用中的计算能力通常以TPU天（即张量处理单元全天候工作一天）来衡量。AlphaProof每个问题需要数百TPU天。
此外，国际数学奥林匹克竞赛是高中水平的竞赛，问题虽然确实困难，但基于数学家已经知道的知识。研究级数学需要发明全新的概念，而不仅仅是处理现有概念。
未来展望：AI数学研究的潜力
尽管存在这些挑战，DeepMind相信可以克服这些障碍并优化AlphaProof，使其资源消耗更低。Hubert表示："我们不希望止步于数学竞赛。我们希望建立一个真正能够对研究级数学做出贡献的AI系统。"他的目标是使AlphaProof对更广泛的研究社区可用。他还补充道："我们还将发布一种AlphaProof工具，这将是一个小型可信测试者计划，以查看这对数学家是否有用。"
AlphaProof的出现代表了人工智能在数学领域的重要里程碑，尽管目前仍面临诸多限制，但它展示了AI系统在理解和解决复杂数学问题方面的巨大潜力。随着技术的不断进步和计算资源的优化，未来AI有望在数学研究中发挥更加重要的作用，成为数学家们的得力助手，推动数学边界不断向前拓展。
